Трапециевидные: Недопустимое название — Викисловарь

Все что необходимо знать о трапециевидных окнах

Большинство потребителей стремятся к созданию индивидуального дизайна своего дома, квартиры или же дачи. Один из наиболее простых способов изменить свое жилище, сделать его непохожим на соседские дома – монтаж окон нестандартной формы, среди которых одним из популярных вариантов является окно трапеция. Оно позволяет не только создать оригинальный, необычный дизайн фасада, но и решить вопрос грамотной организации подкровельного пространства.

Целесообразность использования трапециевидных окон

Нестандартные оконные конструкции, в том числе окна в виде трапеции, не являются чем-то новым и необычным. Они используются довольно широко благодаря своей функциональности, возможности установки в тех местах, где обычное прямоугольное окно будет сложно вписать без уменьшения размеров, что ограничит поступление естественного света в помещения.

Окна трапециевидной формы выбирают:

• для установки в мансардных и чердачных помещениях;
• в качестве стильного элемента дизайна;
• при реконструкции исторических домов и сооружений, где такие конструкции были предусмотрены ранее.

Окна-трапеции придают дому яркую индивидуальность и гармонично смотрятся при оформлении фасада, выполненного в любом стиле.

Выбор материала

Не только оригинальностью привлекают потребителей окна в форме трапеции. Такие системы позволяют повысить уровень освещенности в помещении. При этом собственник не ограничен в выборе материала, из которого изготавливается оконный профиль.

• ПВХ: Трапециевидные пластиковые окна имеют армированный профиль, что повышает их прочность. Это прекрасный вариант как для жилого дома, так и для дачи, коттеджа, бани или гаража.

• Дерево: Деревянные оконные рамы – классический вариант. Для их производства может быть использована древесина дуба, лиственницы, сосны. Современное оборудование позволяет добиться высоких эксплуатационных характеристик при изготовлении нестандартных окон.

• Алюминий: Выгодный вариант не только для обычных, прямоугольных, но и для трапециевидных конструкций. Самым серьезным недостатком окон с алюминиевым профилем является их высокая теплопроводность. Их очень сложно хорошо утеплить, чтобы обеспечить высокую теплоизоляцию. В то же время они очень удобны при строительстве дачного домика, предназначенного только для летнего проживания.

Виды трапециевидных окон

Нестандартное окно трапеция изготавливается по индивидуальному заказу в строгом соответствии с параметрами, полученными при измерении проемов. В зависимости от размеров и формы такие конструкции можно классифицировать по нескольким критериям.

Вариант открывания створок

Трапециевидные окна не уступают по своей функциональности прямоугольным конструкциям, а в некоторых случаях и превосходят их. Они обладают таким же высоким уровнем тепло- и звукоизоляции, герметичности, защиты от взлома и пожаробезопасности. По типу открывания их подразделяют на несколько видов.

Глухие

Это самый простой вариант, наиболее часто используемый при установке окон небольших размеров. В этом случае стеклопакет стационарно закрепляется в раме без возможности открывания. На освещенность это не влияет никаким образом, но может быть неудобно при обслуживании, так как вымыть снаружи стекло может оказаться сложно, даже если окно находится на первом этаже дома, не говоря о мансарде. Устанавливать такие окна не рекомендуется, исключением является случаи, когда глухие створки комбинируются с открывающимися.

Распашные (поворотные)

Трапециевидные окна, как и обычные прямоугольные, снабжены фурнитурой, позволяющей открывать створку. Для обеспечения поворотного открывания створка крепится на раме с помощью петель, а с противоположной ее стороны устанавливается ручка, которая фиксирует створку в закрытом положении. Снабженные поворотными створками окна удобны для ухода и проветривания помещений, позволяют обеспечить оптимальный для человека микроклимат.

Фрамужные (откидные)

В этом случае петли крепятся на верхней или нижней стороне рамы, ручка монтируется на противоположной стороне створки. Окно откидывается на определенный угол, который может регулироваться при помощи специальных ограничителей. Прекрасный вариант для проветривания, являющийся, однако, довольно сложным в уходе.

Комбинированные (поворотно-откидные)

Цена трапециевидных окон данного типа выше, но и преимуществ у них больше. Комфортная эксплуатация таких моделей возможно благодаря специальной фурнитуре, позволяющей как поворачивать, так и откидывать створку. Функцию управления вариантом открывания выполняет ручка.

Форма

Окна сложной геометрической формы появились в эпоху неоромантизма (20 век). Некоторые историки называют «местом рождения» трапециевидных окон Финляндию. В это же время окна в форме трапеции получили распространение и в нашей стране. Наибольшей популярностью пользуются трапециевидные окна в виде:

1. Равнобедренной трапеции. Это оптимальный вариант для мансарды с двускатной крышей. Достаточно часто архитекторы «добавляют» сверху окно треугольной формы, что позволяет остеклять большую площадь фронтона, обеспечивая высокий уровень освещенности.




2. Прямоугольной трапеции. Такая форма чаще всего используются в домах с односкатной кровлей.

Количество створок

Трапециевидные окна бывают:

• одностворчатые, обычно они оснащаются поворотным или откидным механизмом;
• двустворчатые, по желанию владельца, производители изготавливают их в различных вариациях – обе створки открываются, одна глухая, а другая поворотная (поворотно-откидная) и так далее;
• многостворчатые, в зависимости от общего решения дома с трапециевидными окнами, количество створок может быть три и более.

По желанию клиента производители могут изготавливать окна с различным конструктивным переплетом, что позволяет купить трапециевидные окна, сочетающие в себе сразу несколько вариантов открывания для каждой из створок.

Особенности конструкции и производства

Все окна изготавливаются только после проведения замера специалистом оконной компании. Производство трапециевидных (нестандартных) конструкций требует особенно тщательного выполнения всех операций, начиная от замера проема и заканчивая установкой системы. Со сложностями в изготовлении специалисты компании сталкиваются уже в процессе проектирования конструкции, поскольку требуется произвести точный расчет каждого элемента, учесть испытываемые профилем, рамой нагрузки, произвести подсчет прочности соединений. Даже фурнитура, которой оснащается окно-трапеция отличается от той, которая монтируется на обычные прямоугольные окна.

Следует учитывать, что для оснащения створок откидным или поворотно-откидным механизмом необходимо, чтобы один угол конструкции был прямым. 

Кроме того, при производстве трапециевидных окон следует учитывать и другие особенности, среди которых наиболее важным является соблюдение ограничений по размерам углов. Недопустимо изготовление конструкций с острыми углами менее 30º. Это связано с невозможностью должным образом состыковать профили, что может привести к потере герметичности и снижению прочности на разрыв (согласно ГОСТ 30673-99 «Профили поливинилхлоридные для оконных и дверных блоков» она должна составлять не менее 70% от прочности целых профилей). Как правило, такие же требования соблюдаются и при изготовлении деревянных трапециевидных окон.

Некоторые компании-производители способны предложить своим требовательным заказчикам окна с углом 22º. В этом случае все вопросы решаются с индивидуальным подходом, возникают дополнительные задач, что приводит к удорожанию конструкции и увеличению сроков ее изготовления. 

Для изготовления и монтажа нестандартных окон требуется современное оборудование, только в этом случае конструкция будет обладать необходимой герметичностью, прочностью, защищенностью. Но главное, нужны высокопрофессиональные специалисты, ведь проводить монтаж часто приходится в сложных условиях: на высоте, на чердаке, что требует от сотрудника высокой квалификации.

Варианты оформления окна в форме трапеции

Нестандартная оконная конструкция является украшением фасада дома, придает ему эксклюзивный вид. Внутри помещения достичь этого можно, прибегнув к одному из популярных вариантов оформления трапециевидного окна:

Цветной пластиковый профиль

Окрашивание профиля
Современные пластиковые окна не обязательно должны быть белыми. При помощи специального состава профиль может быть окрашен в один из 150 цветов RAL. Покраска выполняется в заводских условиях и представляет собой тонкое (80 микрон), но прочное покрытие, которое не выгорает на солнце и не стирается.

Нанесение ламинации на профиль

Оформление нестандартных окон с помощью ламинации профиля позволяет достоверно имитировать текстуру дерева, металла или камня. Процедура состоит в нанесении на поверхность профиля при высокой температуре под давлением тонкой пленки.

Декорирование стеклопакета

Витраж
Создание витража предполагает нанесение с помощью лаков, красок и специальных разделителей рисунка на внутреннюю поверхность стекол многокамерных стеклопакетов.

Тонировка

Использование тонированного стекла или наклейка специальных пленок позволит не только защититься от солнца, но и защитит от посторонних взоров, сделает стекло зеркальным или придаст оттенок, который будет гармонировать с общим цветовым решением дома.

Фальшпереплет

Позволит придать окну винтажный, ретро стиль. Выполняется при помощи специальных профилей (шпросов), закрепляемых внутри или снаружи стеклопакета в виде определенного рисунка. Декоративная раскладка служит не только декоративным элементом, но и позволяет увеличить прочность стеклопакета.

Текстиль

Иногда достаточно грамотно подобрать шторы на трапециевидные окна и дополнить их жалюзи, которые подчеркнут необычную геометрию оконной системы. Идеальным вариантом станут плиссированные жалюзи на трапециевидные окна в вертикальном и горизонтальном исполнении.

Запасные лезвия, набор из 10 шт., трапециевидные, биметалл 10

Предназначено для обработки углеродистых и легированных сталей с пределом прочности до 500 МПа

Предназначено для обработки углеродистых и легированных сталей с пределом прочности до 750 Мпа

Предназначено для обработки натурального и искусственного камня

Предназначено для обработки закаленных сталей твердостью до 55 HRC

Предназначено для обработки титана и титановых сплавов

Рекомендуется использование СОЖ

Предназначено для обработки коррозионно-стойких сталей

Предназначено для обработки углеродистых и легированных сталей с пределом прочности до 900 МПа

Предназначено для обработки древесины

Предназначено для обработки закаленных сталей твердостью до 60 HRC

Предназначено для обработки алюминиевых и магниевых сплавов

Универсальное применение

Предназначено для обработки твердых сплавов

Предназначено для обработки закаленных сталей твердостью до 67 HRC

Рекомендуется обработка без СОЖ

Предназначено для обработки углеродистых и легированных сталей с пределом прочности до 1400 Мпа

Предназначено для обработки полимеров

Предназначено для обработки серых чугунов и высокопрочных чугунов

Предназначено для обработки поверхностей покрытых лаками и красками

Предназначено для обработки латуни и бронзы

Предназначено для обработки меди

Рекомендуется охлаждение сжатым воздухом

Предназначено для обработки латуни

Предназначено для обработки латуни и медно-никелевых сплавов

Предназначено для обработки сотовых материалов Honeycomb

Предназначено для обработки металломатричных композитных материалов (MMC)

Предназначено для обработки обработки полиметилметакрилата

Предназначено для обработки закаленных сталей с твердостью до 65 HRC

Предназначено для обработки жаропрочных никелевых сплавов

Предназначено для обработки инструментальных сталей Toolox твердостью 33 HRC

Предназначено для обработки полиэфирэфиркетона с 30%-ым содержанием стекловолокна

Предназначено для обработки углеродистых и легированных сталей с пределом прочности до 500 МПа

Предназначено для обработки оловянной бронзы

Предназначено для обработки низколегированных медных сплавов

Предназначено для обработки сталей Hardox 500 с пределом прочности до 1600 Мпа

Предназначено для обработки чугуна с пределом прочности более 800 Мпа

Предназначено для обработки бериллиевой бронзы

Предназначено для обработки углепластика

Допускается обработка цветных металлов, термопластов, длинная сливная стружка

Предназначено для обработки стекло- и углепластика

Допускается обработка полиамида

Предназначено для обработки инструментальных сталей Toolox твердостью 44 HRC

Предназначено для обработки медно-свинцово-цинковых сплавов

Предназначено для обработки медно-никель-цинковых сплавов

Предназначено для обработки литейных алюминиевых сплавов

Предназначено для обработки коррозионно-стойких сталей с пределом прочности более 900 МПа

Предназначено для обработки поливинилиденфторида с 20%-ым содержанием стекловолокна

Предназначено для обработки полиэфирэфиркетона с 30%-ым содержанием углеволокна

Рекомендуется обработка с применением СОЖ мелкодисперсного разбрызгивания

Предназначено для обработки низколегированных медно-кремниевых сплавов

Предназначено для обработки стеклопластика

Предназначено для обработки вольфрамово-медных сплавов

Предназначено для обработки полиэтилена высокой плотности

Предназначено для обработки литейной бронзы

Предназначено для обработки закаленных сталей с твердостью до 50 HRC

Предназначено для обработки полиамида с 30%-ым содержанием стекловолокна

Предназначено для обработки графита, стекло- и углепластика

Предназначено для обработки титановых сплавов с пределом прочности более 850 МПа

Предназначено для обработки углеродистых и легированных сталей с пределом прочности до 750 Мпа

Предназначено для обработки графита

Предназначено для обработки оловянной бронзы

Предназначено для обработки алюминиевых сплавов дающих короткую стружку

Предназначено для обработки коррозионно-стойких сталей с пределом прочности до 900 МАа

Предназначено для обработки бронз повышенной прочности

Предназначено для обработки свинцовых бронз

Предназначено для обработки высокопрочных чугунов

Предназначено для обработки углеродистых и легированных сталей с пределом прочности до 1100 МПа

Предназначено для обработки полиэфирэфиркетона

Предназначено для обработки композитных материалов

Предназначено для обработки арамида

Предназначено для обработки алюминиево-медных сплавов

Предназначено для обработки полиметиленоксида с 25%-ым содержанием стекловолокна

Предназначено для обработки фенолформальдегидной смолы

Предназначено для обработки закаленных сталей твердостью до 70 HRC

Предназначено для обработки алюминиево-никелевых бронз

Предназначено для обработки серых чугунов

Предназначено для обработки меди и медных сплавов

Рекомендуется использование масел или эмульсии

Предназначено для обработки алюминиевых сплавов, дающих длинную (сливную) стружку

Предназначено для обработки политетрафторэтилена с 25%-ым содержанием углеволокна

Рекомендуется использовать в условиях непрерывного резания

Рекомендуется использовать в условиях на удар

Рекомендуется использовать в нестабильных условиях резания

Во Франции найдены трапециевидные 1600-летние саркофаги — Российская газета

Во Франции команда Национального института превентивных археологических исследований (Inrap) провела раскопки в городке Мортань-сюр-Севр, департамент Вандея, и обнаружила 99 гробниц VI-VII веков.

Краткий отчет об открытии опубликован на сайте Inrap. Археологи раскопали небольшой некрополь VI-VII веков, относящийся к эпохе правления династии Меровингов.

Характер захоронений указывает на то, что кладбище было общественным. На нем хоронили как простых людей, которых укладывали в обычные вырытые в земле могилы, так и представителей высшего сословия. Последние были погребены в саркофагах

Всего археологи обнаружили 99 гробниц, датированных VI-VII веками нашей эры. Они ориентированы по двум направлениям: восток-запад и северо-запад / юго-восток. Исследователи отмечают, что могилы на этом кладбище в основном были расположены параллельными рядами, между которыми были обустроены проходы.

Это довольно необычная практика для того периода времени. Ученые предполагают, что проходы между захоронениями были посыпаны гравием, а по обеим их сторонам были посажены деревья. К сожалению, элементы декора со временем исчезли. В нескольких редких случаях археологи зафиксировали повторные подхоронения — видимо, эти могилы были семейными.

Наибольшее внимание исследователей привлекли гробницы людей с высоким социальным статусом. Сообщается, например, что около пятнадцати человек, в основном взрослых, были захоронены в трапециевидных саркофагах. Эти гробы были изготовлены из ракушечника, происхождение которого ученым установить пока не удалось.

Еще одна редкая находка — двойная гробница, в которой друг рядом с другом были погребены два саркофага. Установлено, что эти гробы были опущены в землю одновременно. Это тоже необычная практика, не имеющая аналогов в данном регионе. Всего несколько подобных захоронений археологи ранее находили на других древних и средневековых кладбищах.

Ученые отмечают, что в гробницах и простых захоронениях практически не было никакой погребальной утвари. Исключение составляет лишь набор булавок из медного сплава. Он был обнаружен в саркофаге, в котором находилось тело женщины. Булавки были найдены в районе головы погребенной. Возможно, что это был элемент украшения волос или же при помощи этих булавок был скреплен погребальный саван.

Раскопки были завершены в декабре 2020 года. В настоящий момент эксперты приступили к лабораторному изучению найденных останков и саркофагов. Исследование поможет пролить новый свет на жизнь общества в эпоху Меровингов, в том числе на их погребальную практику.

Лезвие трапециевидные в диспенсере 10шт

Описание

Лезвия в диспенсере являются сменным блоком элементов для ножей. Изготовлены из инструментальной стали. Тип — трапециевидные. Острые и прочные. Используются при выполнении различных отделочных работ. Предназначены для раскройки ковровых покрытий, обоев, пластика, картона и других листовых строительных материалов. По 10 шт в упаковке.

В наличии 119 ₽

В наличии 108 ₽

Под заказ: до 14 рабочих дней 119 ₽

Характеристики

• Длина:

  125 мм

• Объем товара:

  Jettools

• Производитель:

• Страна происхож. :

  Тайвань

• Торговая марка:

• Вес:

  0.055 кг

• Высота:

  15 мм

• Ширина:

  60 мм

Характеристики

Торговый дом «ВИМОС» осуществляет доставку строительных, отделочных материалов и
хозяйственных товаров. Наш автопарк — это более 100 единиц транспортных стредств. На каждой
базе разработана грамотная система логистики, которая позволяет доставить Ваш товар в
оговоренные сроки. Наши специалисты смогут быстро и точно рассчитать стоимость доставки с
учетом веса и габаритов груза, а также километража до места доставки.

Заказ доставки осуществляется через наш колл-центр по телефону: +7 (812) 666-66-55 или при
заказе товара с доставкой через интернет-магазин. Расчет стоимости доставки производится
согласно тарифной сетке, представленной ниже. Точная стоимость доставки определяется после
согласования заказа с вашим менеджером.

Уважаемые покупатели! Правила возврата и обмена товаров, купленных через наш интернет-магазин
регулируются Пользовательским соглашением и законодательством РФ.

ВНИМАНИЕ! Обмен и возврат товара надлежащего качества возможен только в случае, если
указанный товар не был в употреблении, сохранены его товарный вид, потребительские свойства,
пломбы, фабричные ярлыки, упаковка.

Доп. информация

Цена, описание, изображение (включая цвет) и инструкции к
товару Лезвие трапециевидные в диспенсере 10шт на сайте носят информационный
характер и не являются публичной офертой, определенной п. 2 ст. 437 Гражданского
кодекса Российской федерации. Они могут быть изменены производителем без предварительного
уведомления и могут отличаться от описаний на сайте производителя и реальных характеристик
товара. Для получения подробной информации о характеристиках данного товара обращайтесь
к сотрудникам нашего отдела продаж или в Российское представительство данного
товара, а также, пожалуйста, внимательно проверяйте товар при покупке.

Купить Лезвие трапециевидные в диспенсере 10шт в магазине
Санкт-Петербург вы можете в интернет-магазине «ВИМОС».

Статьи по теме

Volkswagen Taos.

Что известно про новый компактный кроссовер?

Новый Volkswagen Taos будет компактнее, чем Tiguan (4417 х 1841 х 1602 мм) и получит динамичный дизайн. У кроссовера будет оригинальная форма передней части кузова с мощным рельефным капотом и технологичным рисунком ходовых огней на ярких светодиодах и выразительная световая полоса слева и справа от логотипа. Машина получит серебристые накладки на бамперы, черно-серебристые рейлинги на крыше и трапециевидные патрубки выхлопных труб, а также, в зависимости от комплектации, 16-18’’ колесные диски. 

На российский, рынок автомобиль сегмента SUV ^[1] будет поставляться с двумя модификациями силовых установок – 110-сильным бензиновым «атмосферником» с 5-ступенчатой механической трансмиссией или 6-ступенчатым «автоматом для переднеприводных комплектаций, а также с турбированным двигателем мощностью 150 л.с с 8-ступенчатой автоматической коробкой передач ля переднего привода или 7-ступенчатым «автоматом» для полноприводного 4Motion.

Электронное обеспечение кроссовера будет соответствовать последнему слову автомобильной техники: адаптивная LED^[2]-оптика IQ.Light^[3], широкий пакет электронных помощников водителя IO.Drive^[4], набор «зимних» опций, датчики парковки, дождя и света, камеры заднего обзора, система безопасности на уровне 5 звезда по версии N-CAP^[5], а в салоне – 2-зонный Climatronic^[6] и атмосферная настраиваемая подсветка. 

Volkswagen Taos первым из автомобилей модельного ряда Volkswagen будет комплектоваться новой мультимедийной системой с 10-дюймовых сенсорным дисплеем, интуитивно понятным управляющим интерфейсом, поддержкой беспроводных технологий Bluetooth^[7] и App-Connect^[8] а также смартфонов на OC Android^[9] и iOS^[10].

Для российских покупателей будет предложено три комплектации Volkswagen Taos — Respect[11], Status[12] и Exclusive^[13], а также лимитированная серия кроссоверов JOY! на базе версии Status^[12], доступных по индивидуальному заказу в цветах Orange^[14], Energetic^[15] и Beige^[16] и с оригинальной оранжевой отделкой салона.  

При необходимости, любая из комплектаций Taos можно будет доукомплектовать автономными пакетами оборудования и электронных опций. 

Информация о начале производства, комплектациях и ценах компактного  Volkswagen  Taos будет доступна позже. Все подробности можно уточнить в отделе продаж официального дилера Volkswagen  Волга-Раст по телефону: +7 8442 781111.

Перевод:

[1] SUV — (англ.) спортивно-утилитарный автомобиль, транслитерация  СУВ.

[2] LED — (англ.) светоизлучающий диод, транслитерация Лэд.

[3] IQ.Light — (англ.) светодиодные матричные фары, транслитерация Айкью.Лайт.

[4] IO.Drive пакет электронных помощников водителя, транслитерация ИО Драйв.

[5] NCAP — (англ. )  автомобильный журнал, транслитерация Нкап.

[6] Climatronic- (англ.) климат контроль автомобиля, транслитерация Климатроник.

[7] Bluetooth- (англ.) производственная спецификация беспроводных персональных сетей, транслитерация Блютус.

[8] App-Connect — (англ.) функция означающая, что мультимедийная система поддерживает три технологии взаимодействия со смартфонами: CarPlay, Android Auto и MirrorLink, транслитерация Апп-Коннект.

[9] OC Android- (англ.) операционная система Android, транслитерация ОЦ Андроид.

[10] iOS — (англ.) мобильная операционная система для смартфонов, транслитерация ИОС.

[11] Respect — (англ.) тип комплектации автомобиля Volkswagen, транслитерация Респект.

[12] Status — (англ.) тип комплектации автомобиля Volkswagen, транслитерация Статус.

[13] Exclusive — (англ.) тип комплектации автомобиля Volkswagen, транслитерация Эксклюзиве.

[14] Orange- (англ.) оранжевый цвет, транслитерация Орэндж.

[15] Energetic- (англ.) энергичный, транслитерация Энергетик.

б {е \ влево (х \ вправо) dx}. \)

Суммы Римана используют прямоугольники для аппроксимации площади под кривой.

Еще одно полезное правило интеграции — это правило трапеции. Согласно этому правилу площадь под кривой оценивается путем деления общей площади на маленькие трапеции, а не на прямоугольники.

Пусть \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно на \ (\ left [{a, b} \ right]. \) Разбиваем интервал \ (\ left [{a, b} \ right] \) на \ (n \) равные подынтервалы шириной

каждый.

\ [{\ Delta x = \ frac {{b — a}} {n},} \]

такое, что

\ [a = {x_0} \ lt {x_1} \ lt {x_2} \ lt \ cdots \ lt {x_n} = б.2} xdx}. \)

Пример 2

Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 8 \), используя правило трапеции с \ (n = 4 \) подинтервалами.

Пример 3

Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = -4 \) и \ (x = 2 \), используя правило трапеции с \ (n = 6 \) подинтервалами. .2} xdx} \ приблизительно {T_6}} = {\ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}}) \ right) + \ cdots} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_5}} \ right) + f \ left ({{x_6}} \ right)} \ right]} = {\ frac {\ pi} {{12}} \ left [{0 + 2 \ cdot \ frac {1} {4} + 2 \ cdot \ frac {3} {4}} \ right.} + {\ left. { 2 \ cdot 1 + 2 \ cdot \ frac {3} {4} + 2 \ cdot \ frac {1} {4} + 0} \ right]} = {\ frac {\ pi} {{12}} \ left [{\ frac {1} {2} + \ frac {3} {2} + 2 + \ frac {3} {2} + \ frac {1} {2}} \ right]} = {\ frac {\ pi} {{12}} \ cdot \ frac {{12}} {2}} = {\ frac {\ pi} {2}} \]

Мы также можем определить точное значение интеграла:

\ [{\ int \ limits_0 ^ \ pi {{{\ sin} ^ 2} xdx}} = {\ frac {1} {2} \ int \ limits_0 ^ \ pi {\ left ({1 — \ cos 2x } \ right) dx}} = {\ frac {1} {2} \ left [{x — \ frac {{\ sin 2x}} {2}} \ right] _0 ^ \ pi} = {\ frac {1 } {2} \ left [{\ left ({\ pi — 0} \ right) — 0} \ right]} = {\ frac {\ pi} {2}. } \]

Итак, в этом конкретном примере трапецеидальная аппроксимация \ ({T_6} \) совпадает с точным значением интеграла.

Пример 2.

Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 8 \), используя правило трапеции с \ (n = 4 \) подинтервалами.

Решение.

Формула правила трапеции для \ (n = 4 \) подынтервалов имеет вид

\ [{{T_4} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \верно.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right.} + {\ left. {f \ left ({{x_4 }} \ right)} \ right].} \]

Ширина подынтервала \ (\ Delta x = 2. \)

Подставляя значения функции из таблицы, находим примерную площадь под кривой:

\ [{A \ приблизительно {T_4} \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {2} {2} \ left [{3 + 2 \ cdot 7 + 2 \ cdot 11 + 2 \ cdot 9 + 3} \ right]} = {3 + 14 + 22 + 18 + 3} = {60. } \]

Пример 3.

Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений.Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = -4 \) и \ (x = 2 \), используя правило трапеции с \ (n = 6 \) подинтервалами. .

Решение.

Мы применяем формулу правила трапеции с \ (n = 6 \) подинтервалов, которая задается как

\ [{{T_6} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ( {{x_4}} \ right) + 2f \ left ({{x_5}} \ right)} \ right.} + {\ left. {f \ left ({{x_6}} \ right)} \ right].} \]

Ширина каждого интервала равна \ (\ Delta x = 1. \)

Значения функции известны из таблицы, поэтому мы легко можем рассчитать приблизительное значение площади:

\ [{A \ приблизительно {T_6} \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {1} {2} \ left [{0 + 2 \ cdot 4 + 2 \ cdot 5} \ right. } + {\ влево. {2 \ cdot 3 + 2 \ cdot 10} \ right.} + {\ left. {2 \ cdot 11 + 2} \ right]} = {\ frac {1} {2} \ left [{8 + 10 + 6} \ right.} + {\ Left. {20 + 22 + 2} \ right]} = {\ frac {{68}} {2}} = {34.} \]

Пример 4.

Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 10 \), используя правило трапеции с \ (n = 5 \) подинтервалами.

Рисунок 2. Решение

.

Формула правила трапеции для интервалов \ (n = 5 \) задается

\ [{{T_5} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right.} + {\ left.{2f \ left ({{x_4}} \ right) + f \ left ({{x_5}} \ right)} \ right].} \]

Из рисунка следует, что \ (\ Delta x = 2. \) Значения функции на концах интервалов равны

\ [f \ left ({{x_0}} \ right) = f \ left (0 \ right) = 4; \]

\ [f \ left ({{x_1}} \ right) = f \ left (2 \ right) = 6; \]

\ [f \ left ({{x_2}} \ right) = f \ left (4 \ right) = 6; \]

\ [f \ left ({{x_3}} \ right) = f \ left (6 \ right) = 4; \]

\ [f \ left ({{x_4}} \ right) = f \ left (8 \ right) = 4; \]

\ [f \ left ({{x_5}} \ right) = f \ left ({10} \ right) = 5. 3} = 8.\]

В качестве \ (\ Delta x = 1, \) получаем

\ [{A \ приблизительно {T_4} \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {1} {2} \ left [{\ frac {1} {2} + 2 \ cdot 1 + 2 \ cdot 2 + 2 \ cdot 4 + 8} \ right]} = {\ frac {1} {2} \ cdot 22 \ frac {1} {2}} = {11 \ frac {1} {4}.} \]

Пример 6.

Приблизьте площадь под кривой \ (y = \ large {\ frac {1} {x}} \ normalsize \) между \ (x = 1 \) и \ (x = 5 \), используя правило трапеции с \ (n = 4 \) подынтервалы.

Решение.

Рис. 4.

Запишем формулу правила трапеции для \ (n = 4 \) подинтервалов:

\ [{{T_4} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \верно.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right.} + {\ left. {f \ left ({{x_4 }} \ right)} \ right].} \]

Функция имеет следующие значения в точках \ ({x_i}: \)

\ [{f \ left ({{x_0}} \ right) = f \ left (1 \ right)} = {\ frac {1} {1}} = {1;} \]

\ [{f \ left ({{x_1}} \ right) = f \ left (2 \ right)} = {\ frac {1} {2};} \]

\ [{f \ left ({{x_2}} \ right) = f \ left (3 \ right)} = {\ frac {1} {3};} \]

\ [{f \ left ({{x_3}} \ right) = f \ left (4 \ right)} = {\ frac {1} {4};} \]

\ [{f \ left ({{x_4}} \ right) = f \ left (5 \ right)} = {\ frac {1} {5}. 2}} = {4.2}}}} \ normalsize} \) и вычислите приблизительное значение \ (\ pi. \). Округлите ответ до \ (2 \) десятичных знаков.

Решение.

Рассчитаем данный интеграл по формуле

\ [{{T_ {10}} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right) + \ cdots} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_9}} \ right) + f \ left ({{x_ {10}}} \ right)} \ right].} \]

Ширина каждого подынтервала —

\ [\ Delta x = \ frac {{b — a}} {n} = \ frac {{1 — 0}} {{10}} = 0.2} \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 3. \) Оцените относительную погрешность аппроксимации в процентах.

Решение.

Правило трапеции с \ (n = 3 \) сегментами записывается в форме

\ [{{T_3} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right].} \]

Ширина подынтервала равна

\ [\ Delta x = \ frac {{b — a}} {n} = \ frac {{3 — 0}} {3} = 1. 3} = {\ frac {{27}} {2} — \ frac {{27}} {3} — 0} = {\ frac {9} {2}} = {4.5} \]

Таким образом, относительная ошибка равна

.

\ [{\ left | \ varepsilon \ right | } = {\ frac {{4.5 — 4}} {{4.5}}} = {\ frac {{0.5}} {{4.5}}} = {\ frac {1} {9}} \ приблизительно {11.1 \% } \]

Окончательный ответ:

\ [{A \ приблизительно 4, \;} \ kern0pt {\ left | \ varepsilon \ right | = 11,1 \%} \]

Пример 11.

Используя правило трапеции с подинтервалом \ (n = 4 \), аппроксимируйте площадь под синусоидальной кривой \ (f \ left (x \ right) = \ sin x \) между \ (x = 0 \) и \ (x = \ пи \) до \ (3 \) десятичных знаков.Оцените относительную погрешность аппроксимации в процентах.

Решение.

Формула правила трапеции с \ (n = 4 \) сегментами равна

\ [{{T_4} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right. } + {\ left. {f \ left ( {{x_4}} \ right)} \ right].} \]

Определите ширину каждого подынтервала:

\ [{\ Delta x = \ frac {{b — a}} {n}} = {\ frac {{\ pi — 0}} {4}} = {\ frac {\ pi} {4}.} \]

Вычислить значения синусоидальной функции:

\ [{f \ left ({{x_0}} \ right) = f \ left (0 \ right)} = {\ sin 0} = {0;} \]

\ [{f \ left ({{x_1}} \ right) = f \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right)} = {\ sin \ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {{\ sqrt 2}} {2};} \]

\ [{f \ left ({{x_2}} \ right) = f \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right)} = {\ sin \ frac {\ pi} {2}} = {1;} \]

\ [{f \ left ({{x_3}} \ right) = f \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ sin \ frac {{3 \ pi }} {4}} = {\ frac {{\ sqrt 2}} {2};} \]

\ [{f \ left ({{x_4}} \ right) = f \ left (\ pi \ right)} = {\ sin \ pi} = {0.\ pi} = {- \ cos \ pi + \ cos 0} = {- \ left ({- 1} \ right) + 1} = {2.} \]

Таким образом, относительная погрешность составляет

.

\ [{\ left | \ varepsilon \ right | = \ frac {{2 — 1,896}} {2}} = {0,052} = {5,2 \%} \]

Ответ

\ [{A \ приблизительно 1. 896, \;} \ kern0pt {\ left | \ varepsilon \ right | = 5.2 \%} \]

Определение трапеции по Merriam-Webster

ловушка · e · zoid

| \ ˈTra-pə-ˌzȯid

\

1а

: четырехугольник, у которого только две стороны параллельны

2

: кость запястья у основания пястной кости указательного пальца.

Трапеция

(Перейти к области трапеции или периметру трапеции)

Трапеция — это четырехсторонняя плоская форма с прямыми сторонами, имеющая пару противоположных сторон, параллельных (отмечены стрелками ниже):

Трапеция		Равнобедренная трапеция

Трапеция:

	имеет пару параллельных сторон
	— это равнобедренная трапеция , когда она имеет равных углов с параллельной стороны
	называется « трапеция » в Великобритании (см. Ниже)

Люфт трапецией:

Параллельные стороны — это «основания»

Две другие стороны — «ножки»

Расстояние (под прямым углом) от одной базы до другой называется «высотой»

Площадь
трапеции

Площадь — это среднее значение для двух базовых длин, в раз превышающее высоту : Площадь = a + b 2 × h

Пример: два основания трапеции составляют 6 м и 4 м, а высота — 3 м.Какова его площадь?

Площадь = 6 м + 4 м 2 × 3 м = 5 м × 3 м = 15 м ²

Инструмент «Площадь многоугольника путем рисования» полезен, когда вы можете нарисовать трапецию.

Периметр трапеции

Периметр — это расстояние по краям.

Периметр равен сумме длин всех сторон : Периметр = a + b + c + d

Пример: Трапеция имеет длину стороны 5 см, 12 см, 4 см и 15 см.

Каков ее периметр?

Периметр = 5 см + 12 см + 4 см + 15 см = 36 см

Медиана трапеции

Медиана (также называемая средней линией или средним сегментом) — это линейный сегмент на полпути между двумя основаниями. Средняя длина — это среднее значение двух базовых длин: м = а + б 2

Вы можете рассчитать площадь, зная медианное значение, это просто медиана, умноженная на высоту:

Площадь = mh

Трапеция

Трапеция (UK: trapezoid) — четырехугольник без параллельных сторон.

Определения США и Великобритании поменялись местами, например:

	Трапеция	Трапеция
США:	пара параллельных сторон	НЕТ параллельных сторон
Великобритания:	НЕТ параллельных сторон	Пара параллельных сторон

5.

2+ 1`, то `du = 2x \ dx`.

Но вопрос не содержит «x \ dx» термин , поэтому мы
не может решить ее ни одним из методов интеграции, которые мы встречали до сих пор.

Нам нужно использовать численных подходов. (Обычно так программное обеспечение
Mathcad или графические калькуляторы выполняют определенные интегралы).

Мы можем использовать один из двух методов:

Правило трапеции

Мы увидели основную идею в нашей первой попытке решить область
под арками проблема раньше.

Вместо прямоугольников, как в задаче с арками, мы будем использовать трапеции
(трапеции), и мы обнаружим, что это дает лучшее приближение к области.

Примерная площадь под кривой находится путем добавления
площадь всех трапеций.

(Напомним, что мы пишем «Δ x », чтобы обозначать «небольшое изменение в x ».)

Площадь трапеции

Теперь площадь трапеции (трапеции) определяется как:

`« Площадь »= h / 2 (p + q)`

Нам нужны «правильные» трапеции (что означает, что параллельные стороны находятся под прямым углом к ​​основанию), и они повернуты на 90 °, так что их новое основание фактически составляет h , как показано ниже, и h = Δ x .

Площадь под кривой с использованием правила трапеции

y ₀

л ₁

«Deltax»

«Типичная» трапеция

Таким образом, общая площадь определяется по:

`» Площадь «~~ 1/2 (y_0 + y_1) Deltax +` `1/2 (y_1 + y_2) Deltax +` `1/2 (y_2 + y_3) Deltax + …`

Мы можем упростить это и получить правило трапеции ,
для трапеций `n` :

`» Площадь «~~` Deltax ((y_0) / 2 + y_1 + y_2 + y_3 + « {:… + (y_n) / 2) `

Чтобы найти `Δx` для области от` x = a` до `x = b`, мы используем:

`Deltax = (b-a) / n`

и нам еще нужно

`y_0 = f (а)`

`y_1 = f (a + Δx)`

`y_2 = f (a + 2Δx)`

`…`

`y_n = f (b)`

Примечание

• Мы получим лучшее приближение, если возьмем больше трапеций
  [до предела!]. 2 + 1} \ dx ≈ 1.150`

  На графике выше видно, что трапеции очень близки к исходной кривой, поэтому наше приближение должно быть близко к реальному значению. Фактически, с точностью до 3 знаков после запятой, целое значение составляет 1,148.

  Что такое трапеция? [Определение, факты и пример]

  Что такое трапеция?

  Трапеция, также известная как трапеция, представляет собой плоскую замкнутую форму, имеющую 4 прямые стороны с одной парой параллельных сторон.

  Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны — ножками.У трапеции тоже могут быть параллельные ножки. Параллельные стороны могут быть горизонтальными, вертикальными или наклонными.

  Расстояние по перпендикуляру между параллельными сторонами называется высотой.

  Примеры :

  Без примеров :

  Типы трапеций

  Трапеция бывает трех типов, а именно

  1. Правая трапеция : имеет пару прямых углов.

  2. Равнобедренная трапеция : имеет равную длину непараллельных сторон. На изображении стороны AD и BC равны.

  3. Чешуйчатая трапеция : у нее нет равных углов и равных сторон.

  Свойства трапеции

  • Трапеция называется параллелограммом, если обе пары ее противоположных сторон параллельны.

  • Трапеция — это квадрат, если обе пары его противоположных сторон параллельны; все его стороны равной длины и расположены под прямым углом друг к другу.

  • Трапеция может быть прямоугольником, если обе пары ее противоположных сторон параллельны; его противоположные стороны равны по длине и расположены под прямым углом друг к другу.

  Примеры из реальной жизни

  Некоторые из многих примеров трапеции — это лицевая сторона коробки для попкорна, сумочки и мостов.

  Интересные факты Трапеция была известна как τραπέζιον «ловушка» на древнегреческом, что буквально означает «столик», а также означает «неправильный четырехугольник».Кроме того, «оид» в переводе с древнегреческого означает «похожий». Слово трапеция было введено в английский язык в 1570 году. Марин Прокл был первым, кто использовал слово «трапеция» в первой книге «Начала» Евклида.

  Как найти площадь трапеции (формула и видео) // Tutors.com

  Содержание

  1. Что такое трапеция?
  2. Как найти площадь трапеции
  3. Площадь формулы трапеции
• Площадь трапеции Примеры

Трапеция представляет собой четырехугольник с одной парой параллельных сторон .Итак, этот четырехсторонний многоугольник представляет собой плоскую фигуру и замкнутую фигуру. Он состоит из четырех отрезков и четырех внутренних углов. Параллельные стороны — это два основания трапеции; две другие стороны — его ноги.

Обычно у трапеции более длинная параллельная сторона — основание — горизонтально. Перпендикулярная линия от основания к другой параллельной стороне даст вам высоту трапеции или высоту .

Что такое средний по математике?

В математике среднее значение — это сумма группы чисел, деленная на количество элементов в группе.

Итак, если у вас есть три человека, которые держат книги, вы можете найти среднее количество книг, которые они держат, вот так: Мартин держит 5 книг, Мак держит 3 книги, а Мария держит 4 книги. Вместе 12 книг держат 3 человека. Итак, 12 книг ÷ 3 человека = в среднем по 4 книги каждая.

Чтобы найти площадь трапеции, вы найдете среднюю длину двух оснований.

Как найти площадь трапеции

Чтобы найти площадь любой трапеции, начните с обозначения ее основания и высоты. На нашей трапеции обозначьте более длинное основание a и более короткое основание b. Обозначьте линию, перпендикулярную двум основаниям, h для высоты или высоты трапеции.

Обратите внимание, мы не пометили ноги. Нам не нужно ничего знать о длине ног или углах вершин, чтобы найти площадь.

Площадь Формулы трапеции

Формула площади трапеции — это среднее значение оснований, умноженное на высоту. В формуле длинное и короткое основание — это a и b, а высота — h:

.

Умножение 12 равно делению на 2.Мы берем половину суммы длины двух оснований (их среднее значение), а затем умножаем ее на высоту или высоту, чтобы найти площадь в квадратных единицах.

Уравнение площади трапеции

Трапеция LMNO имеет параллельные основания LM и NO. Линейный сегмент LM имеет длину 7 см, а линейный сегмент NO — 13 см. Мы обозначим более длинную сторону NO как a, а короткую сторону LM как b. Высота h 5 см.

Сначала давайте подставим эти числа в нашу формулу:

площадь = 13 см + 7 см2 × 5 см

Далее складываем 13 плюс 7 и получаем:

площадь = 20 см2 × 5 см

Потом делим на два и получаем:

площадь = 10 см × 5 см

Наконец, умножаем и получаем ответ:

площадь = 50 см2

Площадь этой трапеции составляет 50 квадратных сантиметров.

Площадь трапеции Примеры

Теперь попробуйте! Другая трапеция имеет длинное основание a, 11 метров, и более короткое основание b, 7 метров. Его высота h составляет 9 метров. Какая площадь в квадратных метрах?

площадь = 11 см + 7 см2 × 9 см

Получили 81 квадратный метр? Ваш ответ для площади всегда выражается в квадратных единицах линейного измерения. Таким образом, трапеция, измеренная в футах, дает площадь в квадратных футах, сантиметры — в квадратных сантиметрах и так далее.

Помните, что умножение на ½ аналогично делению на 2, поэтому вы можете сложить длины оснований, а затем разделить их сумму на два, если вам так легче.

Из-за коммутативного свойства умножения вы можете переставить эти три числа, 12, высоту h и длину основания a + b, в любом порядке, чтобы упростить вычисления.

Итак, с трапецией LMNO вы могли бы написать такую ​​формулу, как:

площадь = 12 × 9 × (11 + 7)

Пример # 2

Вот вам еще один пример. Новая трапеция перевернута по сравнению с тем, как вы их обычно видите, но пусть это вас не остановит! Короткое основание b имеет длину 21 дюйм.Длинное основание a (на этот раз вверху рисунка) составляет 31 дюйм в длину. Высота h (независимо от того, с какой стороны вы смотрите на трапецию) составляет 5 дюймов.

площадь = 12 × 5 × (31 + 21)

ИЛИ

площадь = 12 × (31 + 21) × 5

ИЛИ

площадь = 31 + 212 × 5

Как бы вы ни использовали формулу, вы всегда получите один и тот же ответ: площадь = 130 дюйм2

Краткое содержание урока

В этом уроке и видео мы рассмотрели, что такое трапеция, изучили, как средние значения играют роль в геометрии, научились маркировать и использовать части трапеции для вычисления площади, а также узнали формулу для вычисления площади трапеции в квадратные единицы.

Следующий урок:

Формула Герона

Трапециевидное распределение: определение, PDF, CFD

Распределения вероятностей> Трапециевидное распределение

Что такое трапециевидное распределение?

Трапеция.

Трапецеидальные распределения имеют форму трапеции — четырехугольника с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Они, как правило, хорошо подходят для данных, которые показывают довольно быстрый рост, период выравнивания, а затем довольно быстрый спад.Все три стадии являются линейными функциями: первая стадия возрастает с положительным наклоном; Период выравнивания постоянен, а заключительный этап уменьшается с отрицательной крутизной.

Van Dorp & Kotz определяют параметры распределения как:

• a = минимальное значение для случайной величины,
• b = нижний режим (где начинается постоянная ступень),
• c = верхний режим (где заканчивается постоянная ступень),
• d = максимальное значение для случайной величины,
• m = темп роста за период от a до b,
• n = скорость распада для периода между c и d,
• α = граничное отношение , fx (b) / fx (c), которое Коц и Ван Дорп определяют как «относительную вероятность возможностей на стадии [a, b] и в начале стадии распада [c, d]». ”

Обратите внимание, что режим этого распределения не уникален; он может принимать любое значение между нижним режимом c и верхним режимом d.

PDF трапециевидного распределения

Функция плотности вероятности (PDF) для трапециевидного распределения (от Dorp & Kotz, 2003):

Где:

• μ = 2 / (d + c — b — a) ^-1
• a ≤ b ≤ c ≤ d

CDF

Трапецеидальная кумулятивная функция распределения равна 0 для x


Подобные распределения

• Равномерное распределение — это частный случай трапециевидного распределения; У него нет стадии роста или распада, поэтому a (минимум) = c (нижняя мода) и d (максимум) = b (верхняя мода).
• Треугольное распределение также является частным случаем трапециевидной формы; Отсутствует постоянный каскад, поэтому b (нижний режим) = c (верхний режим).

Каталожные номера:
Kotz, S. & Dorp. Р. (2004). Помимо бета-версии: другие непрерывные семейства дистрибутивов с ограниченной поддержкой и приложениями. World Scientific.
Van Dorp, J et. al ,. (2004). Процедура выявления обобщенного трапециевидного распределения с однородным центральным этапом. Анализ решений, 4 (3): 156–166, сентябрь 2007 г.
Ван Дорп, Дж. И Коц, С. (2003) Обобщенные трапециевидные распределения. Метрика, т. 58, выпуск 1, июль.

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С помощью Chegg Study вы можете получить пошаговые решения на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .